Ошибка средней арифметической обозначается буквой

Условное
обозначение средней арифметической
величины через М (от латинского слова
Media) чаще применяется в медицинских и
педагогических исследованиях. В
математической статистике предпочитают
обозначение через .
Средняя арифметическая величина является
производной, обобщающей количественные
признаки ряда однородных показателей
(совокупности). Выражая одним числом
определенную совокупность, она как бы
ослабляет влияние случайных индивидуальных
отклонений, и акцентирует некую обобщенную
количественную характеристику, наиболее
типичное свойство изучаемого ряда
показателей.

Определяя
значение средней арифметической
величины, следует придерживаться
некоторых правил.

1.  
Средняя арифметическая величина может
характеризовать только те признаки
изучаемого объекта, которые присущи
всей совокупности, но в разной
количественной мере (например, уровень
развития быстроты движений характерен
для каждого человека, хотя и в разной
количественной мере). Средняя арифметическая
величина не может характеризовать
количественную меру тех признаков,
которые одной части совокупности
присущи, а другой нет, т. е. она не может
отражать присутствие или отсутствие
того или иного признака (например, умение
или неумение выполнять то или иное
двигательное действие).

2.  
Средняя арифметическая величина должна
включать все показатели, полученные в
данном исследовании. Произвольное
исключение даже некоторых из них
неизбежно приведет к искажению конечного
результата.

3.  
Средняя арифметическая величина обязана
отражать только однородную совокупность.
Нельзя, например, определять средний
уровень физического развития школьников,
не разделив их предварительно по возрасту
и полу.

4.  
Средняя арифметическая величина должна
вычисляться на достаточно большой
совокупности, размеры которой определяются
в каждом конкретном случае отдельно
(см. «Подбор исследуемых»).

5.  
Необходимо стремиться к тому, чтобы
средняя арифметическая величина имела
четкие и простые свойства, позволяющие
легко и быстро ее вычислять.

6.  
Средняя арифметическая величина должна
обладать достаточной устойчивостью к
действию случайных факторов. Только в
этом случае она будет отражать
действительное состояние изучаемого
явления, а не его случайные изменения.

7.  
Точность вычисления средней арифметической
величины должна соответствовать
содержанию изучаемого педагогического
явления. В некоторых случаях нет
необходимости в расчетах с большой
точностью, в других — большая точность
нужна при вычислениях, но совершенно
не нужна в выводах. Например, при расчете
средних величин числа подтягиваний на
перекладине можно пользоваться и сотыми
долями целого, но представлять и выводах,
что исследуемые в среднем подтянулись
7,83 раза, было бы неграмотна, так как
невозможно измерение с подобной
точностью. В этом случае необходимо в
выводах представлять числа, округленные
до целых единиц.

В
простейшем случае этот показатель
вычисляется путем сложения всех
полученных значений (которые называются
вариантами) и деления суммы на число
вариант:

где
   S — знак суммирования;

V
— полученные в исследовании значения
(варианты);

п
— число вариант.

По
этой формуле вычисляется так называемая
простая средняя арифметическая величина.
Применяется она в тех случаях, когда
имеется небольшое число вариант.

При
большом числе вариант прибегают к
вычислению так называемой взвешенной
средней арифметической величины. С этой
целью строят ряд распределения, или
вариационный ряд, который представляет
собой ряд вариант и их частот,
характеризующих какой-нибудь признак
в убывающем или возрастающем порядке.
Например, в нашем случае измерение
точности попадания мячом в цель дало
125 вариант, т. е. в группе I, где применялась
методика обучения «А», одноразово
исследовалось 125 детей с числовым
выражением от 0 (точное попадание в цель)
до 21,5 см (максимальное отклонение от
цели). Каждое числовое выражение
встречалось в исследовании один и более
раз, например «0» встретился 28 раз.
Другими словами, 28 участников эксперимента
точно попали в цель. Этот показатель
называется числом наблюдений или
частотой вариант и условно обозначается
буквой «Р» (число наблюдений составляет
часть числа вариант).

Для
упрощения числовых операций все 125
вариант разбиваются на классы с величиной
интервала 1,9 см. Число классов зависит
от величины колебаний вариант (разности
между максимальной и минимальной
вариантами), наличия вариант для каждого
класса (если, например, для первого
класса — «0 — 1,9» — нет соответствующих
вариант, т.е. ни один исследуемый не имел
точных попаданий или отклонений от цели
в пределах от 0 до 1,9 см, то подобный класс
не вносится в вариационный ряд) и,
наконец, требуемой точности вычисления,
(чем больше классов, тем точность
вычисления выше). Вполне понятно, что
чем больше величина интервала, тем
меньше число классов при одной и той же
величине колебаний вариант.

После
разбивки вариант по классам в каждом
классе определяется срединная варианта
«Vc»,
и для каждой срединной варианты
проставляется число наблюдений. Пример
этих операций, и дальнейший ход вычислений
приведены в следующей таблице:

Классы

Серединные
варианты VC

Число
набл, р

VCP

VC-M=d

d2

d2P

0
– 1.9

1

28

28

-4.6

21.16

592.48

2
– 3.9

3

29

87

-2.6

6.76

196.04

4
– 5.9

5

22

110

-0.6

0.36

7.92

6
– 7.9

7

13

91

1.4

1.96

25.48

8
– 9.9

9

11

99

3.4

11.56

127.16

10
– 11.9

11

13

143

5.4

29.16

379.08

12
– 13.9

13

4

52

7.4

54.76

219.04

14
– 15.9

15

2

30

9.4

88.36

176.72

16
– 17.9

17

1

17

11.4

130.00

130.00

18
– 19.9

19

1

19

13.4

179.60

179.60

20
– 21.9

21

1

21

15.4

237.20

237.20

125

697

2270.72

Очередность
числовых операций:

1)  
вычислить сумму числа наблюдений (в
нашем примере она равна 125);

2)  
вычислить произведение каждой срединной
варианты на ее частоту (например, 1*28 =
28);

3)  
вычислить сумму произведений срединных
вариант на их частоты (в нашем примере
она равна 697);

4)  
вычислить взвешенную среднюю арифметическую
величину по формуле:

Средняя
арифметическая величина позволяет
сравнивать и оценивать группы изучаемых
явлений в целом. Однако для характеристики
группы явлений только этой величины
явно недостаточно, так как размер
колебаний вариант, из которых она
складывается, может быть различным.
Поэтому в характеристику группы явлений
необходимо ввести такой показатель,
который давал бы представление о величине
колебаний вариант около их средней
величины.

Вычисление
средней ошибки среднего арифметического
.
Условное обозначение средней ошибки
среднего арифметического — т. Следует
помнить, что под «ошибкой» в статистике
понимается не ошибка исследования, а
мера представительства данной величины,
т. е. мера, которой средняя арифметическая
величина, полученная на выборочной
совокупности (в нашем примере — на 125
детях), отличается от истинной средней
арифметической величины, которая была
бы получена на генеральной совокупности
(в нашем примере это были бы все дети
аналогичного возраста, уровня
подготовленности и т. д.). Например, в
приведенном ранее примере определялась
точность попадания малым мячом в цель
у 125 детей и была получена средняя
арифметическая величина примерно равная
5,6 см. Теперь надо установить, в какой
мере эта величина будет характерна,
если взять для исследования 200, 300, 500 и
больше аналогичных детей. Ответ на этот
вопрос и даст вычисление средней ошибки
среднего арифметического, которое
производится по формуле:

Для
приведенного примера величина средней
ошибки среднего арифметического будет
равна:

Следовательно,
M±m = 5,6±0,38. Это означает, что полученная
средняя арифметическая величина (M =
5,6) может иметь в других аналогичных
исследованиях значения от 5,22 (5,6 — 0,38 =
5,22) до 5,98 (5,6+0,38 = 5,98).

Соседние файлы в предмете Ветеринарная генетика

  • #
  • #
  • #

Условное
обозначение средней арифметической
величины через М (от латинского слова
Media) чаще применяется в медицинских и
педагогических исследованиях. В
математической статистике предпочитают
обозначение через .
Средняя арифметическая величина является
производной, обобщающей количественные
признаки ряда однородных показателей
(совокупности). Выражая одним числом
определенную совокупность, она как бы
ослабляет влияние случайных индивидуальных
отклонений, и акцентирует некую обобщенную
количественную характеристику, наиболее
типичное свойство изучаемого ряда
показателей.

Определяя
значение средней арифметической
величины, следует придерживаться
некоторых правил.

1.  
Средняя арифметическая величина может
характеризовать только те признаки
изучаемого объекта, которые присущи
всей совокупности, но в разной
количественной мере (например, уровень
развития быстроты движений характерен
для каждого человека, хотя и в разной
количественной мере). Средняя арифметическая
величина не может характеризовать
количественную меру тех признаков,
которые одной части совокупности
присущи, а другой нет, т. е. она не может
отражать присутствие или отсутствие
того или иного признака (например, умение
или неумение выполнять то или иное
двигательное действие).

2.  
Средняя арифметическая величина должна
включать все показатели, полученные в
данном исследовании. Произвольное
исключение даже некоторых из них
неизбежно приведет к искажению конечного
результата.

3.  
Средняя арифметическая величина обязана
отражать только однородную совокупность.
Нельзя, например, определять средний
уровень физического развития школьников,
не разделив их предварительно по возрасту
и полу.

4.  
Средняя арифметическая величина должна
вычисляться на достаточно большой
совокупности, размеры которой определяются
в каждом конкретном случае отдельно
(см. «Подбор исследуемых»).

5.  
Необходимо стремиться к тому, чтобы
средняя арифметическая величина имела
четкие и простые свойства, позволяющие
легко и быстро ее вычислять.

6.  
Средняя арифметическая величина должна
обладать достаточной устойчивостью к
действию случайных факторов. Только в
этом случае она будет отражать
действительное состояние изучаемого
явления, а не его случайные изменения.

7.  
Точность вычисления средней арифметической
величины должна соответствовать
содержанию изучаемого педагогического
явления. В некоторых случаях нет
необходимости в расчетах с большой
точностью, в других — большая точность
нужна при вычислениях, но совершенно
не нужна в выводах. Например, при расчете
средних величин числа подтягиваний на
перекладине можно пользоваться и сотыми
долями целого, но представлять и выводах,
что исследуемые в среднем подтянулись
7,83 раза, было бы неграмотна, так как
невозможно измерение с подобной
точностью. В этом случае необходимо в
выводах представлять числа, округленные
до целых единиц.

В
простейшем случае этот показатель
вычисляется путем сложения всех
полученных значений (которые называются
вариантами) и деления суммы на число
вариант:

где
   S — знак суммирования;

V
— полученные в исследовании значения
(варианты);

п
— число вариант.

По
этой формуле вычисляется так называемая
простая средняя арифметическая величина.
Применяется она в тех случаях, когда
имеется небольшое число вариант.

При
большом числе вариант прибегают к
вычислению так называемой взвешенной
средней арифметической величины. С этой
целью строят ряд распределения, или
вариационный ряд, который представляет
собой ряд вариант и их частот,
характеризующих какой-нибудь признак
в убывающем или возрастающем порядке.
Например, в нашем случае измерение
точности попадания мячом в цель дало
125 вариант, т. е. в группе I, где применялась
методика обучения «А», одноразово
исследовалось 125 детей с числовым
выражением от 0 (точное попадание в цель)
до 21,5 см (максимальное отклонение от
цели). Каждое числовое выражение
встречалось в исследовании один и более
раз, например «0» встретился 28 раз.
Другими словами, 28 участников эксперимента
точно попали в цель. Этот показатель
называется числом наблюдений или
частотой вариант и условно обозначается
буквой «Р» (число наблюдений составляет
часть числа вариант).

Для
упрощения числовых операций все 125
вариант разбиваются на классы с величиной
интервала 1,9 см. Число классов зависит
от величины колебаний вариант (разности
между максимальной и минимальной
вариантами), наличия вариант для каждого
класса (если, например, для первого
класса — «0 — 1,9» — нет соответствующих
вариант, т.е. ни один исследуемый не имел
точных попаданий или отклонений от цели
в пределах от 0 до 1,9 см, то подобный класс
не вносится в вариационный ряд) и,
наконец, требуемой точности вычисления,
(чем больше классов, тем точность
вычисления выше). Вполне понятно, что
чем больше величина интервала, тем
меньше число классов при одной и той же
величине колебаний вариант.

После
разбивки вариант по классам в каждом
классе определяется срединная варианта
«Vc»,
и для каждой срединной варианты
проставляется число наблюдений. Пример
этих операций, и дальнейший ход вычислений
приведены в следующей таблице:

Классы

Серединные
варианты VC

Число
набл, р

VCP

VC-M=d

d2

d2P

0
– 1.9

1

28

28

-4.6

21.16

592.48

2
– 3.9

3

29

87

-2.6

6.76

196.04

4
– 5.9

5

22

110

-0.6

0.36

7.92

6
– 7.9

7

13

91

1.4

1.96

25.48

8
– 9.9

9

11

99

3.4

11.56

127.16

10
– 11.9

11

13

143

5.4

29.16

379.08

12
– 13.9

13

4

52

7.4

54.76

219.04

14
– 15.9

15

2

30

9.4

88.36

176.72

16
– 17.9

17

1

17

11.4

130.00

130.00

18
– 19.9

19

1

19

13.4

179.60

179.60

20
– 21.9

21

1

21

15.4

237.20

237.20

125

697

2270.72

Очередность
числовых операций:

1)  
вычислить сумму числа наблюдений (в
нашем примере она равна 125);

2)  
вычислить произведение каждой срединной
варианты на ее частоту (например, 1*28 =
28);

3)  
вычислить сумму произведений срединных
вариант на их частоты (в нашем примере
она равна 697);

4)  
вычислить взвешенную среднюю арифметическую
величину по формуле:

Средняя
арифметическая величина позволяет
сравнивать и оценивать группы изучаемых
явлений в целом. Однако для характеристики
группы явлений только этой величины
явно недостаточно, так как размер
колебаний вариант, из которых она
складывается, может быть различным.
Поэтому в характеристику группы явлений
необходимо ввести такой показатель,
который давал бы представление о величине
колебаний вариант около их средней
величины.

Вычисление
средней ошибки среднего арифметического
.
Условное обозначение средней ошибки
среднего арифметического — т. Следует
помнить, что под «ошибкой» в статистике
понимается не ошибка исследования, а
мера представительства данной величины,
т. е. мера, которой средняя арифметическая
величина, полученная на выборочной
совокупности (в нашем примере — на 125
детях), отличается от истинной средней
арифметической величины, которая была
бы получена на генеральной совокупности
(в нашем примере это были бы все дети
аналогичного возраста, уровня
подготовленности и т. д.). Например, в
приведенном ранее примере определялась
точность попадания малым мячом в цель
у 125 детей и была получена средняя
арифметическая величина примерно равная
5,6 см. Теперь надо установить, в какой
мере эта величина будет характерна,
если взять для исследования 200, 300, 500 и
больше аналогичных детей. Ответ на этот
вопрос и даст вычисление средней ошибки
среднего арифметического, которое
производится по формуле:

Для
приведенного примера величина средней
ошибки среднего арифметического будет
равна:

Следовательно,
M±m = 5,6±0,38. Это означает, что полученная
средняя арифметическая величина (M =
5,6) может иметь в других аналогичных
исследованиях значения от 5,22 (5,6 — 0,38 =
5,22) до 5,98 (5,6+0,38 = 5,98).

Соседние файлы в предмете Ветеринарная генетика

  • #
  • #
  • #

Содержание

  • Расчет ошибки средней арифметической
    • Способ 1: расчет с помощью комбинации функций
    • Способ 2: применение инструмента «Описательная статистика»
  • Вопросы и ответы

Ошибка средней арифметической в Microsoft Excel

Стандартная ошибка или, как часто называют, ошибка средней арифметической, является одним из важных статистических показателей. С помощью данного показателя можно определить неоднородность выборки. Он также довольно важен при прогнозировании. Давайте узнаем, какими способами можно рассчитать величину стандартной ошибки с помощью инструментов Microsoft Excel.

Расчет ошибки средней арифметической

Одним из показателей, которые характеризуют цельность и однородность выборки, является стандартная ошибка. Эта величина представляет собой корень квадратный из дисперсии. Сама дисперсия является средним квадратном от средней арифметической. Средняя арифметическая вычисляется делением суммарной величины объектов выборки на их общее количество.

В Экселе существуют два способа вычисления стандартной ошибки: используя набор функций и при помощи инструментов Пакета анализа. Давайте подробно рассмотрим каждый из этих вариантов.

Способ 1: расчет с помощью комбинации функций

Прежде всего, давайте составим алгоритм действий на конкретном примере по расчету ошибки средней арифметической, используя для этих целей комбинацию функций. Для выполнения задачи нам понадобятся операторы СТАНДОТКЛОН.В, КОРЕНЬ и СЧЁТ.

Для примера нами будет использована выборка из двенадцати чисел, представленных в таблице.

Выборка в Microsoft Excel

  1. Выделяем ячейку, в которой будет выводиться итоговое значение стандартной ошибки, и клацаем по иконке «Вставить функцию».
  2. Переход в Мастер функций в Microsoft Excel

  3. Открывается Мастер функций. Производим перемещение в блок «Статистические». В представленном перечне наименований выбираем название «СТАНДОТКЛОН.В».
  4. Переход в окно аргументов функции СТАНДОТКЛОН.В в Microsoft Excel

  5. Запускается окно аргументов вышеуказанного оператора. СТАНДОТКЛОН.В предназначен для оценивания стандартного отклонения при выборке. Данный оператор имеет следующий синтаксис:

    =СТАНДОТКЛОН.В(число1;число2;…)

    «Число1» и последующие аргументы являются числовыми значениями или ссылками на ячейки и диапазоны листа, в которых они расположены. Всего может насчитываться до 255 аргументов этого типа. Обязательным является только первый аргумент.

    Итак, устанавливаем курсор в поле «Число1». Далее, обязательно произведя зажим левой кнопки мыши, выделяем курсором весь диапазон выборки на листе. Координаты данного массива тут же отображаются в поле окна. После этого клацаем по кнопке «OK».

  6. Окно аргументов функции СТАНДОТКЛОН.В в Microsoft Excel

  7. В ячейку на листе выводится результат расчета оператора СТАНДОТКЛОН.В. Но это ещё не ошибка средней арифметической. Для того, чтобы получить искомое значение, нужно стандартное отклонение разделить на квадратный корень от количества элементов выборки. Для того, чтобы продолжить вычисления, выделяем ячейку, содержащую функцию СТАНДОТКЛОН.В. После этого устанавливаем курсор в строку формул и дописываем после уже существующего выражения знак деления (/). Вслед за этим клацаем по пиктограмме перевернутого вниз углом треугольника, которая располагается слева от строки формул. Открывается список недавно использованных функций. Если вы в нем найдете наименование оператора «КОРЕНЬ», то переходите по данному наименованию. В обратном случае жмите по пункту «Другие функции…».
  8. Переход к дальнейшему продолжению написания формулы стандартной ошибки в Microsoft Excel

  9. Снова происходит запуск Мастера функций. На этот раз нам следует посетить категорию «Математические». В представленном перечне выделяем название «КОРЕНЬ» и жмем на кнопку «OK».
  10. Переход в окно аргументов функции КОРЕНЬ в Microsoft Excel

  11. Открывается окно аргументов функции КОРЕНЬ. Единственной задачей данного оператора является вычисление квадратного корня из заданного числа. Его синтаксис предельно простой:

    =КОРЕНЬ(число)

    Lumpics.ru

    Как видим, функция имеет всего один аргумент «Число». Он может быть представлен числовым значением, ссылкой на ячейку, в которой оно содержится или другой функцией, вычисляющей это число. Последний вариант как раз и будет представлен в нашем примере.

    Устанавливаем курсор в поле «Число» и кликаем по знакомому нам треугольнику, который вызывает список последних использованных функций. Ищем в нем наименование «СЧЁТ». Если находим, то кликаем по нему. В обратном случае, опять же, переходим по наименованию «Другие функции…».

  12. Окно аргументов функции КОРЕНЬ в Microsoft Excel

  13. В раскрывшемся окне Мастера функций производим перемещение в группу «Статистические». Там выделяем наименование «СЧЁТ» и выполняем клик по кнопке «OK».
  14. Переход в окно аргументов функции СЧЁТ в Microsoft Excel

  15. Запускается окно аргументов функции СЧЁТ. Указанный оператор предназначен для вычисления количества ячеек, которые заполнены числовыми значениями. В нашем случае он будет подсчитывать количество элементов выборки и сообщать результат «материнскому» оператору КОРЕНЬ. Синтаксис функции следующий:

    =СЧЁТ(значение1;значение2;…)

    В качестве аргументов «Значение», которых может насчитываться до 255 штук, выступают ссылки на диапазоны ячеек. Ставим курсор в поле «Значение1», зажимаем левую кнопку мыши и выделяем весь диапазон выборки. После того, как его координаты отобразились в поле, жмем на кнопку «OK».

  16. Окно аргументов функции СЧЁТ в Microsoft Excel

  17. После выполнения последнего действия будет не только рассчитано количество ячеек заполненных числами, но и вычислена ошибка средней арифметической, так как это был последний штрих в работе над данной формулой. Величина стандартной ошибки выведена в ту ячейку, где размещена сложная формула, общий вид которой в нашем случае следующий:

    =СТАНДОТКЛОН.В(B2:B13)/КОРЕНЬ(СЧЁТ(B2:B13))

    Результат вычисления ошибки средней арифметической составил 0,505793. Запомним это число и сравним с тем, которое получим при решении поставленной задачи следующим способом.

Результат вычисления стандартной ошибки в сложной формуле в Microsoft Excel

Но дело в том, что для малых выборок (до 30 единиц) для большей точности лучше применять немного измененную формулу. В ней величина стандартного отклонения делится не на квадратный корень от количества элементов выборки, а на квадратный корень от количества элементов выборки минус один. Таким образом, с учетом нюансов малой выборки наша формула приобретет следующий вид:

=СТАНДОТКЛОН.В(B2:B13)/КОРЕНЬ(СЧЁТ(B2:B13)-1)

Результат вычисления стандартной ошибки для малой выборки в Microsoft Excel

Урок: Статистические функции в Экселе

Способ 2: применение инструмента «Описательная статистика»

Вторым вариантом, с помощью которого можно вычислить стандартную ошибку в Экселе, является применение инструмента «Описательная статистика», входящего в набор инструментов «Анализ данных» («Пакет анализа»). «Описательная статистика» проводит комплексный анализ выборки по различным критериям. Одним из них как раз и является нахождение ошибки средней арифметической.

Но чтобы воспользоваться данной возможностью, нужно сразу активировать «Пакет анализа», так как по умолчанию в Экселе он отключен.

  1. После того, как открыт документ с выборкой, переходим во вкладку «Файл».
  2. Переход во вкладку Файл в Microsoft Excel

  3. Далее, воспользовавшись левым вертикальным меню, перемещаемся через его пункт в раздел «Параметры».
  4. Перемещение в раздел Параметры в Microsoft Excel

  5. Запускается окно параметров Эксель. В левой части данного окна размещено меню, через которое перемещаемся в подраздел «Надстройки».
  6. Переход в подраздел надстройки окна параметров в Microsoft Excel

  7. В самой нижней части появившегося окна расположено поле «Управление». Выставляем в нем параметр «Надстройки Excel» и жмем на кнопку «Перейти…» справа от него.
  8. Переход в окно надстроек в Microsoft Excel

  9. Запускается окно надстроек с перечнем доступных скриптов. Отмечаем галочкой наименование «Пакет анализа» и щелкаем по кнопке «OK» в правой части окошка.
  10. Включение пакета анализа в окне надстроек в Microsoft Excel

  11. После выполнения последнего действия на ленте появится новая группа инструментов, которая имеет наименование «Анализ». Чтобы перейти к ней, щелкаем по названию вкладки «Данные».
  12. Переход во вкладку Данные в Microsoft Excel

  13. После перехода жмем на кнопку «Анализ данных» в блоке инструментов «Анализ», который расположен в самом конце ленты.
  14. Переход в Анализ данных в Microsoft Excel

  15. Запускается окошко выбора инструмента анализа. Выделяем наименование «Описательная статистика» и жмем на кнопку «OK» справа.
  16. Переход в описательную статистику в Microsoft Excel

  17. Запускается окно настроек инструмента комплексного статистического анализа «Описательная статистика».

    В поле «Входной интервал» необходимо указать диапазон ячеек таблицы, в которых находится анализируемая выборка. Вручную это делать неудобно, хотя и можно, поэтому ставим курсор в указанное поле и при зажатой левой кнопке мыши выделяем соответствующий массив данных на листе. Его координаты тут же отобразятся в поле окна.

    В блоке «Группирование» оставляем настройки по умолчанию. То есть, переключатель должен стоять около пункта «По столбцам». Если это не так, то его следует переставить.

    Галочку «Метки в первой строке» можно не устанавливать. Для решения нашего вопроса это не важно.

    Далее переходим к блоку настроек «Параметры вывода». Здесь следует указать, куда именно будет выводиться результат расчета инструмента «Описательная статистика»:

    • На новый лист;
    • В новую книгу (другой файл);
    • В указанный диапазон текущего листа.

    Давайте выберем последний из этих вариантов. Для этого переставляем переключатель в позицию «Выходной интервал» и устанавливаем курсор в поле напротив данного параметра. После этого клацаем на листе по ячейке, которая станет верхним левым элементом массива вывода данных. Её координаты должны отобразиться в поле, в котором мы до этого устанавливали курсор.

    Далее следует блок настроек определяющий, какие именно данные нужно вводить:

    • Итоговая статистика;
    • К-ый наибольший;
    • К-ый наименьший;
    • Уровень надежности.

    Для определения стандартной ошибки обязательно нужно установить галочку около параметра «Итоговая статистика». Напротив остальных пунктов выставляем галочки на свое усмотрение. На решение нашей основной задачи это никак не повлияет.

    После того, как все настройки в окне «Описательная статистика» установлены, щелкаем по кнопке «OK» в его правой части.

  18. Окно описаительная статистика в Microsoft Excel

  19. После этого инструмент «Описательная статистика» выводит результаты обработки выборки на текущий лист. Как видим, это довольно много разноплановых статистических показателей, но среди них есть и нужный нам – «Стандартная ошибка». Он равен числу 0,505793. Это в точности тот же результат, который мы достигли путем применения сложной формулы при описании предыдущего способа.

Результат расчета стандартной ошибки путем применения инструмента Описательная статистика в Microsoft Excel

Урок: Описательная статистика в Экселе

Как видим, в Экселе можно произвести расчет стандартной ошибки двумя способами: применив набор функций и воспользовавшись инструментом пакета анализа «Описательная статистика». Итоговый результат будет абсолютно одинаковый. Поэтому выбор метода зависит от удобства пользователя и поставленной конкретной задачи. Например, если ошибка средней арифметической является только одним из многих статистических показателей выборки, которые нужно рассчитать, то удобнее воспользоваться инструментом «Описательная статистика». Но если вам нужно вычислить исключительно этот показатель, то во избежание нагромождения лишних данных лучше прибегнуть к сложной формуле. В этом случае результат расчета уместится в одной ячейке листа.

2.1. Стандартное отклонение среднего выборочного значения (ошибка среднего) и доверительный интервал

Результаты измерений обычно показывают с так называемой «средней статистической ошибкой средней величины» и для нашего случая (см. табл. 1.1) это будет запись: «высота сеянцев в опыте составила 5,0 ± 0,28 см». Словосочетание «средняя статистическая ошибка» обычно сокращают до названия «ошибка среднего» или просто «ошибка», обозначают буквой m и определяют по очень простой формуле. Для итогов упомянутой таблицы, где расчеты по 25 высотам дали значение δ = 1,42 см, эта ошибка составит:

11.wmf (2.1)

где δ –

стандартное отклонение;

N –

число наблюдений или объем выборки, шт.

Если объем выборки взять 100 шт., то ошибка снизится в 2 раза: 12.wmf а если увеличить до 10000 шт., то в 10 раз, до 0,014 см.

Рассмотрим эту «среднюю статистическую ошибку» (далее просто ошибка) подробно, так как именно в ней скрыто понимание того, что называют статистическим мышлением. Интуитивно мы понимаем, что малая выборка дает большую ошибку, т.е. неточное определение среднего значения. Последний термин настолько привычен, что мы даже не задумываемся о том, что его правильное и полное название «среднее выборочное значение», т.е. среднее, определяемое в некоторой выборке. И выборки могут быть очень разные по численности. Начнем с самых малых. Например, что произойдет с ошибкой, если объем выборки сократить до 2 измерений? Такие выборки бывают, например, в почвенных исследованиях, когда каждое измерение достается дорогой ценой. Для этого вернемся к рис. 1.1. На нем стандартное отклонение ±δ, которое отражает разброс значений вокруг среднего в левую и правую сторону в виде холма, наблюдается при объеме выборки 1 шт. В этом случае ошибка среднего выборочного значения будет равна стандартному отклонению: m = δ = 1,42. С увеличением N ошибка уменьшается:

при объеме выборки N = 2 ошибка будет

13.wmf

при объеме выборки N = 4 ошибка будет

14.wmf

при объеме выборки N = 16 ошибка будет

15.wmf

Важно понять, что ряд распределения частот этих выборочных средних будет постепенно как бы съеживаться и приближаться к центру, где находится так называемое «генеральное» среднее. Поясним, что в математике генеральное среднее значение называется математическим ожиданием и его обозначают буквой «М». Например, это может быть средняя высота, рассчитанная по всем измеренным в теплице сеянцам, или среднее число семян в 1 шишке у дерева после подсчета семян во всех собранных с дерева шишках (50, 100, 500 и т.д., т.е. весьма небольшая генеральная совокупность). Распределение частот значений выборочных средних, которых может быть множество, будет иметь форму такого же холма, как и распределение единичных значений на рис. 1.1. При этом, если выборка будет из 1 шт., то холм будет в точности таким же, но при выборках из 2 шт. его форма съежится в 16.wmf = в 1,41 раза; при выборках из 4 шт. –
в 17.wmf = в 2 раза; при выборках из 9 шт. – в 18.wmf = в 3 раза и т.д.

Для этих сокращающихся рядов распределения выборочных средних можно рассчитать свое, особое стандартное отклонение. Вероятно, чтобы не путать его со СТАНДОТКЛ, его стали называть по-другому, т.е. «средней статистической ошибкой средней величины». Чем больше по объему выборки, тем короче ряд распределения средних значений этих выборок с его «хвостами» в левую и правую сторону, и тем меньше величина этого особого стандартного отклонения. Закон распределения частот выборочных средних точно такой же, и имеет те же свойства: в пределах ±2m находится 95 % всех значений выборочных средних, в пределах ±3m – 99,5 %, а в пределах ±4m находится 100 % всех значений xср. Форма этого распределения меняется от пологой при малых выборках до очень крутой, вплоть до «схлопывания» в центре при выборках большого объема, когда ошибка среднего стремится к нулю.

Здесь следует пояснить, что, на наш взгляд, словосочетание «средняя статистическая ошибка средней величины», сокращаемое до «ошибки среднего значения» или просто до «ошибки», вводит нас в некоторое заблуждение, так как мы привыкли со школы, что ошибки надобно исправлять. Более правильным, вместо слов «ошибка среднего значения», будет использование слов «стандартное отклонение выборочных средних значений от генерального среднего». Не случайно математики выбрали для обозначения величины этого отклонения букву «m», а для обозначения генерального среднего (математического ожидания) – букву «М». Слова для объяснения этих сложных явлений могут быть разными, но и у математиков, и у биологов есть единодушие в понимании статистического смысла, лежащего за этими буквенными символами. Вообще, лучше было бы ввести некий иной термин вместо слов «ошибка» или «отклонение», так как они изначально имеют в нашем сознании иной смысл; на наш взгляд, более всего подходит слово «скачок» (чем сильнее отскакивает выборочное среднее от генерального среднего, тем реже оно встречается). Но так уж получилось, что не нашлось нейтрального (иностранного) слова, и слово «ошибка» традиционно используют, и мы также будем его использовать; важно понимать его иной, чем в обыденном употреблении, математический и статистический смысл.

Для самого точного определения средней высоты сеянцев нужно измерять все растения в питомнике, и тогда мы получим «генеральное среднее значение». Но так не делают, а измеряют несколько сотен растений в разных местах и этого бывает достаточно для определения среднего выборочного значения с приемлемой точностью. В нашем примере при 100 растениях ошибка его определения составит 19.wmf а ее отнесение к средней высоте сеянцев 5,0 см, выражаемое в %, дает нам так называемую точность опыта: 0,14/5,0×100 = 2,8 %. В биологии точность опыта ±2–3 % считается высокой, ±5 % – достаточной, а ±6–7 % – пониженной, но это весьма упрощенное представление о планировании эксперимента.

Вообще, точность опыта не самоцель; гораздо важнее сократить численность (объем) выборки до минимума. Представим себе, что средняя высота сеянцев xср = 5,0 см, а ее ±δ = 1,42 см, рассмотренные выше, получены при измерении 1000 растений потомства сосны, например, из Кунгура. Поделив ±δ на корень из 1000 получаем ошибку опыта m = ±0,045 см. Далее получаем точность опыта

Р = m/xср×100 = 0,045/5,0×100 = 0,9 %.

Точность получилась очень высокой. Но в питомнике есть потомства и из других мест и такой уровень точности совершенно не нужен, так как нужно узнать еще высоты сеянцев, например, из Очера, Осы, Добрянки и других районов. Если выборку из 1 тыс. растений снижать, то будет увеличиваться ошибка в определении средней высоты. И нужно найти приемлемую величину такой ошибки, которая позволит нам, тем не менее, уверенно утверждать, что это потомство растет быстрее, либо медленнее других. Причем происхождений может быть несколько сотен и минимизация выборок крайне важна, так как масштабы работ ограничены физическими возможностями бригады селекционеров. Следовательно, надо сокращать объем выборки. Как это сделать правильно?

Рассмотрим два потомства. Первое – это упомянутые сеянцы происхождением из Кунгура (хср1), второе – сеянцы из Кизела с хср2 = 6,0 см и δ2 = ± 1,0 см (превышение высоты на 20 %). Надо это превышение доказать. При выборках из 100 растений ранее определенная ошибка m1 была равна 0,14 см, вторая ошибка m2 после расчетов по формуле (2.1) составит 0,1 см. По закону нормального распределения 99,5 % всех возможных значений этих средних хср1 и хср2 будут в пределах «плюс-минус три ошибки», что можно показать графически (рис. 2.1) или в виде формул:

хср1 ± 3m1 = 5,0 ± 3×0,14 = 5,0 ± 0,4 см

и

хср2 ± 3m2 = 6,0 ± 3×0,1 = 6,0 ± 0,3 см.

Возможные теоретические значения средних в генеральной совокупности не перекрывают друг друга, значит, различие достоверно. А если сократить выборки до 50 сеянцев? Тогда 20.wmf и 21.wmf и пределы колебаний возможных значений средних будут:

хср1 ± 3m1 = 5,0 ± 3×0,20 = 5,0 ± 0,6 см;

хср2 ± 3m2 = 6,0 ± 3×0,14 = 6,0 ± 0,3 см.

2_1.tif

Рис. 2.1. Средние значения по выборкам из 100 растений и их тройные ошибки (пределы возможных значений выборочных средних в 99,5 % случаев)

Снова вынесем эти пределы на график (рис. 2.2).

2_2.tif

Рис. 2.2. Средние значения при N = 50 растений и их тройные ошибки

Как видим, пределы сблизились и если еще сократить выборки, то они перекроются. Можно ли далее снижать объем выборки?

Можно, но здесь вступает в силу так называемое условие безошибочного прогноза. Мы это условие задали на уровне 99,5 % и для этого взяли ±3m для распределения ошибок. Но можно взять уровень пониже, с пределами ±2δ (уровень 95 %) и даже с пределами ±1,7δ (уровень 90 %).

При выборках из 25 штук сеянцев, получаем две ошибки: 22.wmf 23.wmf Тогда пределы значений для этих двух выборочных средних для уровня прогноза в 95 % будут:

хср1 ± 2m1 = 5,0 ± 2×0,28 = 5,0 ± 0,56 см;

хср2 ± 2m2 = 6,0 ± 2×0,20 = 6,0 ± 0,40 см.

Выносим эти пределы опять на график (рис. 2.3).

2_3.tif

Рис. 2.3. Средние значения при N = 25 растений и их двойные ошибки (пределы возможных значений средних в 95 % случаев)

Как видим, просвет все еще есть, и поэтому между возможными значениями средних высот сеянцев в других выборках из происхождений Кунгур и Кизел различия будут опять доказаны. Но уровень доказательства понизился до 95 %, и для 5 % оставшихся случаев нет гарантии, что различия будут иметь место при выборке из 25 растений. Их может и не быть, но эту вероятность в 5 % мы допускаем.

Представление результатов исследования

В научных публикациях важно представление результатов исследования. Очень часто окончательный результат приводится в следующем виде: M±m, где M – среднее арифметическое, m –ошибка среднего арифметического. Например, 163,7±0,9 см.

Прежде чем разбираться в правилах представления результатов исследования, давайте точно усвоим, что же такое ошибка среднего арифметического.

Ошибка среднего арифметического

Среднее арифметическое, вычисленное на основе выборочных данных (выборочное среднее), как правило, не совпадает с генеральным средним (средним арифметическим генеральной совокупности). Экспериментально проверить это утверждение невозможно, потому что нам неизвестно генеральное среднее. Но если из одной и той же генеральной совокупности брать повторные выборки и вычислять среднее арифметическое, то окажется, что для разных выборок среднее арифметическое будет разным.

Чтобы оценить, насколько выборочное среднее арифметическое отличается от генерального среднего, вычисляется ошибка среднего арифметического или ошибка репрезентативности.

Ошибка среднего арифметического обозначается как m или  Представление результатов исследования

Ошибка среднего арифметического рассчитывается по формуле:

Представление результатов исследования

где: S — стандартное отклонение, n – объем выборки; Например, если стандартное отклонение равно S=5 см, объем выборки n=36 человек, то ошибка среднего арифметического равна: m=5/6 = 0,833.

Ошибка среднего арифметического показывает, какая ошибка в среднем допускается, если использовать вместо генерального среднего выборочное среднее.

Так как при небольшом объеме выборки истинное значение генерального среднего не может быть определено сколь угодно точно, поэтому при вычислении выборочного среднего арифметического нет смысла оставлять большое число значащих цифр.

Правила записи результатов исследования

  1. В записи ошибки среднего арифметического оставляем две значащие цифры, если первые цифры в ошибке «1» или «2».
  2. В остальных случаях в записи ошибки среднего арифметического оставляем одну значащую цифру.
  3. В записи среднего арифметического положение последней значащей цифры должно соответствовать положению первой значащей цифры в записи ошибки среднего арифметического.

Представление результатов научных исследований

В своей статье «Осторожно, статистика!», опубликованной в 1989 году В.М. Зациорский указал, какие числовые характеристики должны быть представлены в публикации, чтобы она имела научную ценность. Он писал, что исследователь «…должен назвать: 1) среднюю величину (или другой так называемый показатель положения); 2) среднее квадратическое отклонение (или другой показатель рассеяния) и 3) число испытуемых. Без них его публикация научной ценности иметь не будет “с. 52

В научных публикациях в области физической культуры и спорта очень часто окончательный результат приводится в виде:  (М±m) (табл.1).

Таблица 1 — Изменение механических свойств латеральной широкой мышцы бедра под воздействием физической нагрузки (n=34)

Эффективный модуль

упругости (Е), кПа

Эффективный модуль

вязкости (V), Па с

Этап

эксперимента

Рассл. Напряж. Рассл. Напряж.
До ФН 7,0±0,3 17,1±1,4 29,7±1,7 46±4
После ФН 7,7±0,3 18,7±1,4 30,9±2,0 53±6

Литература

  1. Высшая математика и математическая статистика: учебное пособие для вузов / Под общ. ред. Г. И. Попова. – М. Физическая культура, 2007.– 368 с.
  2. Гласс Дж., Стэнли Дж. Статистические методы в педагогике и психологии. М.: Прогресс. 1976.- 495 с.
  3. Зациорский В.М. Осторожно — статистика! // Теория и практика физической культуры, 1989.- №2.
  4. Катранов А.Г. Компьютерная обработка данных экспериментальных исследований: Учебное пособие/ А. Г. Катранов, А. В. Самсонова; СПб ГУФК им. П.Ф. Лесгафта. – СПб.: изд-во СПб ГУФК им. П.Ф. Лесгафта, 2005. – 131 с.
  5. Основы математической статистики: Учебное пособие для ин-тов физ. культ / Под ред. В.С. Иванова.– М.: Физкультура и спорт, 1990. 176 с.

Среднее арифметическое, как известно, используется для получения обобщающей характеристики некоторого набора данных. Если данные более-менее однородны и в них нет аномальных наблюдений (выбросов), то среднее хорошо обобщает данные, сведя к минимуму влияние случайных факторов (они взаимопогашаются при сложении).

Когда анализируемые данные представляют собой выборку (которая состоит из случайных значений), то среднее арифметическое часто (но не всегда) выступает в роли приближенной оценки математического ожидания. Почему приближенной? Потому что среднее арифметическое – это величина, которая зависит от набора случайных чисел, и, следовательно, сама является случайной величиной. При повторных экспериментах (даже в одних и тех же условиях) средние будут отличаться друг от друга.

Для того, чтобы на основе статистического анализа данных делать корректные выводы, необходимо оценить возможный разброс полученного результата. Для этого рассчитываются различные показатели вариации. Но то исходные данные. И как мы только что установили, среднее арифметическое также обладает разбросом, который необходимо оценить и учитывать в дальнейшем (в выводах, в выборе метода анализа и т.д.).

Интуитивно понятно, что разброс средней должен быть как-то связан с разбросом исходных данных. Основной характеристикой разброса средней выступает та же дисперсия.

Дисперсия выборочных данных – это средний квадрат отклонения от средней, и рассчитать ее по исходным данным не составляет труда, например, в Excel предусмотрены специальные функции. Однако, как же рассчитать дисперсию средней, если в распоряжении есть только одна выборка и одно среднее арифметическое?

Расчет дисперсии и стандартной ошибки средней арифметической

Чтобы получить дисперсию средней арифметической нет необходимости проводить множество экспериментов, достаточно иметь только одну выборку. Это легко доказать. Для начала вспомним, что средняя арифметическая (простая) рассчитывается по формуле:

формула средней арифметической

где xi – значения переменной,
n – количество значений.

Теперь учтем два свойства дисперсии, согласно которым, 1) — постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат и 2) — дисперсия суммы независимых случайных величин равняется сумме соответствующих дисперсий. Предполагается, что каждое случайное значение xi обладает одинаковым разбросом, поэтому несложно вывести формулу дисперсии средней арифметической:

Формула дисперсии средней арифметической

Используя более привычные обозначения, формулу записывают как:

Дисперсия средней арифметической

где σ2 – это дисперсия, случайной величины, причем генеральная.

На практике же, генеральная дисперсия известна далеко не всегда, точнее совсем редко, поэтому в качестве оной используют выборочную дисперсию:

Дисперсия средней арифметической по выборке

Стандартное отклонение средней арифметической называется стандартной ошибкой средней и рассчитывается, как квадратный корень из дисперсии.

Формула стандартной ошибки средней при использовании генеральной дисперсии

Стандартная ошибка средней

Формула стандартной ошибки средней при использовании выборочной дисперсии

Стандартная ошибка средней по выборке

Последняя формула на практике используется чаще всего, т.к. генеральная дисперсия обычно не известна. Чтобы не вводить новые обозначения, стандартную ошибку средней обычно записывают в виде соотношения стандартного отклонения выборки и корня объема выборки.

Назначение и свойство стандартной ошибки средней арифметической

Стандартная ошибка средней много, где используется. И очень полезно понимать ее свойства. Посмотрим еще раз на формулу стандартной ошибки средней:

Стандартная ошибка выборочной средней

Числитель – это стандартное отклонение выборки и здесь все понятно. Чем больше разброс данных, тем больше стандартная ошибка средней – прямо пропорциональная зависимость.

Посмотрим на знаменатель. Здесь находится квадратный корень из объема выборки. Соответственно, чем больше объем выборки, тем меньше стандартная ошибка средней. Для наглядности изобразим на одной диаграмме график нормально распределенной переменной со средней равной 10, сигмой – 3, и второй график – распределение средней арифметической этой же переменной, полученной по 16-ти наблюдениям (которое также будет нормальным).

Зависимость стандартной ошибки средней от объем выборки

Судя по формуле, разброс стандартной ошибки средней должен быть в 4 раза (корень из 16) меньше, чем разброс исходных данных, что и видно на рисунке выше. Чем больше наблюдений, тем меньше разброс средней.

Казалось бы, что для получения наиболее точной средней достаточно использовать максимально большую выборку и тогда стандартная ошибка средней будет стремиться к нулю, а сама средняя, соответственно, к математическому ожиданию. Однако квадратный корень объема выборки в знаменателе говорит о том, что связь между точностью выборочной средней и размером выборки не является линейной. Например, увеличение выборки с 20-ти до 50-ти наблюдений, то есть на 30 значений или в 2,5 раза, уменьшает стандартную ошибку средней только на 36%, а со 100-а до 130-ти наблюдений (на те же 30 значений), снижает разброс данных лишь на 12%.

Лучше всего изобразить эту мысль в виде графика зависимости стандартной ошибки средней от размера выборки. Пусть стандартное отклонение равно 10 (на форму графика это не влияет).

Распределение исходных данных и средней

Видно, что примерно после 50-ти значений, уменьшение стандартной ошибки средней резко замедляется, после 100-а – наклон постепенно становится почти нулевым.

Таким образом, при достижении некоторого размера выборки ее дальнейшее увеличение уже почти не сказывается на точности средней. Этот факт имеет далеко идущие последствия. Например, при проведении выборочного обследования населения (опроса) чрезмерное увеличение выборки ведет к неоправданным затратам, т.к. точность почти не меняется. Именно поэтому количество опрошенных редко превышает 1,5 тысячи человек. Точность при таком размере выборки часто является достаточной, а дальнейшее увеличение выборки – нецелесообразным.

Подведем итог. Расчет дисперсии и стандартной ошибки средней имеет довольно простую формулу и обладает полезным свойством, связанным с тем, что относительно хорошая точность средней достигается уже при 100 наблюдениях (в этом случае стандартная ошибка средней становится в 10 раз меньше, чем стандартное отклонение выборки). Больше, конечно, лучше, но бесконечно увеличивать объем выборки не имеет практического смысла. Хотя, все зависит от поставленных задач и цены ошибки. В некоторых опросах участие принимают десятки тысяч людей.

Дисперсия и стандартная ошибка средней имеют большое практическое значение. Они используются в проверке гипотез и расчете доверительных интервалов.

Поделиться в социальных сетях:


Загрузить PDF


Загрузить PDF

Стандартной ошибкой называется величина, которая характеризует стандартное (среднеквадратическое) отклонение выборочного среднего. Другими словами, эту величину можно использовать для оценки точности выборочного среднего. Множество областей применения стандартной ошибки по умолчанию предполагают нормальное распределение. Если вам нужно рассчитать стандартную ошибку, перейдите к шагу 1.

  1. Step 1 Запомните определение среднеквадратического отклонения.

    Среднеквадратическое отклонение выборки – это мера рассеянности значения. Среднеквадратическое отклонение выборки обычно обозначается буквой s. Математическая формула среднеквадратического отклонения приведена выше.

  2. Step 2 Узнайте, что такое истинное среднее значение.

    Истинное среднее является средним группы чисел, включающим все числа всей группы – другими словами, это среднее всей группы чисел, а не выборки.

  3. Step 3 Научитесь рассчитывать среднеарифметическое значение.

    Среднеаримфетическое означает попросту среднее: сумму значений собранных данных, разделенную на количество значений этих данных.

  4. Step 4 Узнайте, что такое выборочное среднее.

    Когда среднеарифметическое значение основано на серии наблюдений, полученных в результате выборок из статистической совокупности, оно называется “выборочным средним”. Это среднее выборки чисел, которое описывает среднее значение лишь части чисел из всей группы. Его обозначают как:

  5. Step 5 Усвойте понятие нормального распределения.

    Нормальные распределения, которые используются чаще других распределений, являются симметричными, с единичным максимумом в центре – на среднем значении данных. Форма кривой подобна очертаниям колокола, при этом график равномерно опускается по обе стороны от среднего. Пятьдесят процентов распределения лежит слева от среднего, а другие пятьдесят процентов – справа от него. Рассеянность значений нормального распределения описывается стандартным отклонением.

  6. Step 6 Запомните основную формулу.

    Формула для вычисления стандартной ошибки приведена выше.

    Реклама

  1. Step 1 Рассчитайте выборочное среднее.

    Чтобы найти стандартную ошибку, сначала нужно определить среднеквадратическое отклонение (поскольку среднеквадратическое отклонение s входит в формулу для вычисления стандартной ошибки). Начните с нахождения средних значений. Выборочное среднее выражается как среднее арифметическое измерений x1, x2, . . . , xn. Его рассчитывают по формуле, приведенной выше.

    • Допустим, например, что вам нужно рассчитать стандартную ошибку выборочного среднего результатов измерения массы пяти монет, указанных в таблице:
      Вы сможете рассчитать выборочное среднее, подставив значения массы в формулу:
  2. Step 2 Вычтите выборочное среднее...

    Вычтите выборочное среднее из каждого измерения и возведите полученное значение в квадрат. Как только вы получите выборочное среднее, вы можете расширить вашу таблицу, вычтя его из каждого измерения и возведя результат в квадрат.

    • Для нашего примера расширенная таблица будет иметь следующий вид:
  3. Step 3 Найдите суммарное отклонение...

    Найдите суммарное отклонение ваших измерений от выборочного среднего. Общее отклонение – это сумма возведенных в квадрат разностей от выборочного среднего. Чтобы определить его, сложите ваши новые значения.

    • В нашем примере нужно будет выполнить следующий расчет:
      Это уравнение дает сумму квадратов отклонений измерений от выборочного среднего.
  4. Step 4 Рассчитайте среднеквадратическое отклонение...

    Рассчитайте среднеквадратическое отклонение ваших измерений от выборочного среднего. Как только вы будете знать суммарное отклонение, вы сможете найти среднее отклонение, разделив ответ на n -1. Обратите внимание, что n равно числу измерений.

    • В нашем примере было сделано 5 измерений, следовательно n – 1 будет равно 4. Расчет нужно вести следующим образом:
  5. Step 5 Найдите среднеквадратичное отклонение.

    Сейчас у вас есть все необходимые значения для того, чтобы воспользоваться формулой для нахождения среднеквадратичного отклонения s.

    • В нашем примере вы будете рассчитывать среднеквадратичное отклонение следующим образом:
      Следовательно, среднеквадратичное отклонение равно 0,0071624.

    Реклама

  1. Step 1 Чтобы вычислить стандартную...

    Чтобы вычислить стандартную ошибку, воспользуйтесь базовой формулой со среднеквадратическим отклонением.

    • В нашем примере вы сможете рассчитать стандартную ошибку следующим образом:
      Таким образом в нашем примере стандартная ошибка (среднеквадратическое отклонение выборочного среднего) составляет 0,0032031 грамма.

Советы

  • Стандартную ошибку и среднеквадратическое отклонение часто путают. Обратите внимание, что стандартная ошибка описывает среднеквадратическое отклонение выборочного распределения статистических данных, а не распределения отдельных значений
  • В научных журналах понятия стандартной ошибки и среднеквадратического отклонения несколько размыты. Для объединения двух величин используется знак ±.

Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 52 032 раза.

Была ли эта статья полезной?

From Wikipedia, the free encyclopedia

In statistics, the mean squared error (MSE)[1] or mean squared deviation (MSD) of an estimator (of a procedure for estimating an unobserved quantity) measures the average of the squares of the errors—that is, the average squared difference between the estimated values and the actual value. MSE is a risk function, corresponding to the expected value of the squared error loss.[2] The fact that MSE is almost always strictly positive (and not zero) is because of randomness or because the estimator does not account for information that could produce a more accurate estimate.[3] In machine learning, specifically empirical risk minimization, MSE may refer to the empirical risk (the average loss on an observed data set), as an estimate of the true MSE (the true risk: the average loss on the actual population distribution).

The MSE is a measure of the quality of an estimator. As it is derived from the square of Euclidean distance, it is always a positive value that decreases as the error approaches zero.

The MSE is the second moment (about the origin) of the error, and thus incorporates both the variance of the estimator (how widely spread the estimates are from one data sample to another) and its bias (how far off the average estimated value is from the true value).[citation needed] For an unbiased estimator, the MSE is the variance of the estimator. Like the variance, MSE has the same units of measurement as the square of the quantity being estimated. In an analogy to standard deviation, taking the square root of MSE yields the root-mean-square error or root-mean-square deviation (RMSE or RMSD), which has the same units as the quantity being estimated; for an unbiased estimator, the RMSE is the square root of the variance, known as the standard error.

Definition and basic properties[edit]

The MSE either assesses the quality of a predictor (i.e., a function mapping arbitrary inputs to a sample of values of some random variable), or of an estimator (i.e., a mathematical function mapping a sample of data to an estimate of a parameter of the population from which the data is sampled). In the context of prediction, understanding the prediction interval can also be useful as it provides a range within which a future observation will fall, with a certain probability..The definition of an MSE differs according to whether one is describing a predictor or an estimator.

Predictor[edit]

If a vector of n predictions is generated from a sample of n data points on all variables, and Y is the vector of observed values of the variable being predicted, with \hat{Y} being the predicted values (e.g. as from a least-squares fit), then the within-sample MSE of the predictor is computed as

{\displaystyle \operatorname {MSE} ={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(Y_{i}-{\hat {Y_{i}}}\right)^{2}.}

In other words, the MSE is the mean {\textstyle \left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\right)} of the squares of the errors {\textstyle \left(Y_{i}-{\hat {Y_{i}}}\right)^{2}}. This is an easily computable quantity for a particular sample (and hence is sample-dependent).

In matrix notation,

{\displaystyle \operatorname {MSE} ={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(e_{i})^{2}={\frac {1}{n}}\mathbf {e} ^{\mathsf {T}}\mathbf {e} }

where e_{i} is {\displaystyle (Y_{i}-{\hat {Y_{i}}})} and {\displaystyle \mathbf {e} } is a {\displaystyle n\times 1} column vector.

The MSE can also be computed on q data points that were not used in estimating the model, either because they were held back for this purpose, or because these data have been newly obtained. Within this process, known as cross-validation, the MSE is often called the test MSE,[4] and is computed as

{\displaystyle \operatorname {MSE} ={\frac {1}{q}}\sum _{i=n+1}^{n+q}\left(Y_{i}-{\hat {Y_{i}}}\right)^{2}.}

Estimator[edit]

The MSE of an estimator \hat{\theta} with respect to an unknown parameter \theta is defined as[1]

{\displaystyle \operatorname {MSE} ({\hat {\theta }})=\operatorname {E} _{\theta }\left[({\hat {\theta }}-\theta )^{2}\right].}

This definition depends on the unknown parameter, but the MSE is a priori a property of an estimator. The MSE could be a function of unknown parameters, in which case any estimator of the MSE based on estimates of these parameters would be a function of the data (and thus a random variable). If the estimator \hat{\theta} is derived as a sample statistic and is used to estimate some population parameter, then the expectation is with respect to the sampling distribution of the sample statistic.

The MSE can be written as the sum of the variance of the estimator and the squared bias of the estimator, providing a useful way to calculate the MSE and implying that in the case of unbiased estimators, the MSE and variance are equivalent.[5]

{\displaystyle \operatorname {MSE} ({\hat {\theta }})=\operatorname {Var} _{\theta }({\hat {\theta }})+\operatorname {Bias} ({\hat {\theta }},\theta )^{2}.}

Proof of variance and bias relationship[edit]

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {MSE} ({\hat {\theta }})&=\operatorname {E} _{\theta }\left[({\hat {\theta }}-\theta )^{2}\right]\\&=\operatorname {E} _{\theta }\left[\left({\hat {\theta }}-\operatorname {E} _{\theta }[{\hat {\theta }}]+\operatorname {E} _{\theta }[{\hat {\theta }}]-\theta \right)^{2}\right]\\&=\operatorname {E} _{\theta }\left[\left({\hat {\theta }}-\operatorname {E} _{\theta }[{\hat {\theta }}]\right)^{2}+2\left({\hat {\theta }}-\operatorname {E} _{\theta }[{\hat {\theta }}]\right)\left(\operatorname {E} _{\theta }[{\hat {\theta }}]-\theta \right)+\left(\operatorname {E} _{\theta }[{\hat {\theta }}]-\theta \right)^{2}\right]\\&=\operatorname {E} _{\theta }\left[\left({\hat {\theta }}-\operatorname {E} _{\theta }[{\hat {\theta }}]\right)^{2}\right]+\operatorname {E} _{\theta }\left[2\left({\hat {\theta }}-\operatorname {E} _{\theta }[{\hat {\theta }}]\right)\left(\operatorname {E} _{\theta }[{\hat {\theta }}]-\theta \right)\right]+\operatorname {E} _{\theta }\left[\left(\operatorname {E} _{\theta }[{\hat {\theta }}]-\theta \right)^{2}\right]\\&=\operatorname {E} _{\theta }\left[\left({\hat {\theta }}-\operatorname {E} _{\theta }[{\hat {\theta }}]\right)^{2}\right]+2\left(\operatorname {E} _{\theta }[{\hat {\theta }}]-\theta \right)\operatorname {E} _{\theta }\left[{\hat {\theta }}-\operatorname {E} _{\theta }[{\hat {\theta }}]\right]+\left(\operatorname {E} _{\theta }[{\hat {\theta }}]-\theta \right)^{2}&&\operatorname {E} _{\theta }[{\hat {\theta }}]-\theta ={\text{const.}}\\&=\operatorname {E} _{\theta }\left[\left({\hat {\theta }}-\operatorname {E} _{\theta }[{\hat {\theta }}]\right)^{2}\right]+2\left(\operatorname {E} _{\theta }[{\hat {\theta }}]-\theta \right)\left(\operatorname {E} _{\theta }[{\hat {\theta }}]-\operatorname {E} _{\theta }[{\hat {\theta }}]\right)+\left(\operatorname {E} _{\theta }[{\hat {\theta }}]-\theta \right)^{2}&&\operatorname {E} _{\theta }[{\hat {\theta }}]={\text{const.}}\\&=\operatorname {E} _{\theta }\left[\left({\hat {\theta }}-\operatorname {E} _{\theta }[{\hat {\theta }}]\right)^{2}\right]+\left(\operatorname {E} _{\theta }[{\hat {\theta }}]-\theta \right)^{2}\\&=\operatorname {Var} _{\theta }({\hat {\theta }})+\operatorname {Bias} _{\theta }({\hat {\theta }},\theta )^{2}\end{aligned}}}

An even shorter proof can be achieved using the well-known formula that for a random variable {\textstyle X}, {\textstyle \mathbb {E} (X^{2})=\operatorname {Var} (X)+(\mathbb {E} (X))^{2}}. By substituting {\textstyle X} with, {\textstyle {\hat {\theta }}-\theta }, we have

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {MSE} ({\hat {\theta }})&=\mathbb {E} [({\hat {\theta }}-\theta )^{2}]\\&=\operatorname {Var} ({\hat {\theta }}-\theta )+(\mathbb {E} [{\hat {\theta }}-\theta ])^{2}\\&=\operatorname {Var} ({\hat {\theta }})+\operatorname {Bias} ^{2}({\hat {\theta }},\theta )\end{aligned}}}

But in real modeling case, MSE could be described as the addition of model variance, model bias, and irreducible uncertainty (see Bias–variance tradeoff). According to the relationship, the MSE of the estimators could be simply used for the efficiency comparison, which includes the information of estimator variance and bias. This is called MSE criterion.

In regression[edit]

In regression analysis, plotting is a more natural way to view the overall trend of the whole data. The mean of the distance from each point to the predicted regression model can be calculated, and shown as the mean squared error. The squaring is critical to reduce the complexity with negative signs. To minimize MSE, the model could be more accurate, which would mean the model is closer to actual data. One example of a linear regression using this method is the least squares method—which evaluates appropriateness of linear regression model to model bivariate dataset,[6] but whose limitation is related to known distribution of the data.

The term mean squared error is sometimes used to refer to the unbiased estimate of error variance: the residual sum of squares divided by the number of degrees of freedom. This definition for a known, computed quantity differs from the above definition for the computed MSE of a predictor, in that a different denominator is used. The denominator is the sample size reduced by the number of model parameters estimated from the same data, (np) for p regressors or (np−1) if an intercept is used (see errors and residuals in statistics for more details).[7] Although the MSE (as defined in this article) is not an unbiased estimator of the error variance, it is consistent, given the consistency of the predictor.

In regression analysis, «mean squared error», often referred to as mean squared prediction error or «out-of-sample mean squared error», can also refer to the mean value of the squared deviations of the predictions from the true values, over an out-of-sample test space, generated by a model estimated over a particular sample space. This also is a known, computed quantity, and it varies by sample and by out-of-sample test space.

In the context of gradient descent algorithms, it is common to introduce a factor of 1/2 to the MSE for ease of computation after taking the derivative. So a value which is technically half the mean of squared errors may be called the MSE.

Examples[edit]

Mean[edit]

Suppose we have a random sample of size n from a population, X_{1},\dots ,X_{n}. Suppose the sample units were chosen with replacement. That is, the n units are selected one at a time, and previously selected units are still eligible for selection for all n draws. The usual estimator for the \mu is the sample average

\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i

which has an expected value equal to the true mean \mu (so it is unbiased) and a mean squared error of

{\displaystyle \operatorname {MSE} \left({\overline {X}}\right)=\operatorname {E} \left[\left({\overline {X}}-\mu \right)^{2}\right]=\left({\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right)^{2}={\frac {\sigma ^{2}}{n}}}

where \sigma ^{2} is the population variance.

For a Gaussian distribution, this is the best unbiased estimator (i.e., one with the lowest MSE among all unbiased estimators), but not, say, for a uniform distribution.

Variance[edit]

The usual estimator for the variance is the corrected sample variance:

{\displaystyle S_{n-1}^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\overline {X}}\right)^{2}={\frac {1}{n-1}}\left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{2}-n{\overline {X}}^{2}\right).}

This is unbiased (its expected value is \sigma ^{2}), hence also called the unbiased sample variance, and its MSE is[8]

{\displaystyle \operatorname {MSE} (S_{n-1}^{2})={\frac {1}{n}}\left(\mu _{4}-{\frac {n-3}{n-1}}\sigma ^{4}\right)={\frac {1}{n}}\left(\gamma _{2}+{\frac {2n}{n-1}}\right)\sigma ^{4},}

where \mu _{4} is the fourth central moment of the distribution or population, and \gamma_2=\mu_4/\sigma^4-3 is the excess kurtosis.

However, one can use other estimators for \sigma ^{2} which are proportional to S^2_{n-1}, and an appropriate choice can always give a lower mean squared error. If we define

{\displaystyle S_{a}^{2}={\frac {n-1}{a}}S_{n-1}^{2}={\frac {1}{a}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\overline {X}}\,\right)^{2}}

then we calculate:

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {MSE} (S_{a}^{2})&=\operatorname {E} \left[\left({\frac {n-1}{a}}S_{n-1}^{2}-\sigma ^{2}\right)^{2}\right]\\&=\operatorname {E} \left[{\frac {(n-1)^{2}}{a^{2}}}S_{n-1}^{4}-2\left({\frac {n-1}{a}}S_{n-1}^{2}\right)\sigma ^{2}+\sigma ^{4}\right]\\&={\frac {(n-1)^{2}}{a^{2}}}\operatorname {E} \left[S_{n-1}^{4}\right]-2\left({\frac {n-1}{a}}\right)\operatorname {E} \left[S_{n-1}^{2}\right]\sigma ^{2}+\sigma ^{4}\\&={\frac {(n-1)^{2}}{a^{2}}}\operatorname {E} \left[S_{n-1}^{4}\right]-2\left({\frac {n-1}{a}}\right)\sigma ^{4}+\sigma ^{4}&&\operatorname {E} \left[S_{n-1}^{2}\right]=\sigma ^{2}\\&={\frac {(n-1)^{2}}{a^{2}}}\left({\frac {\gamma _{2}}{n}}+{\frac {n+1}{n-1}}\right)\sigma ^{4}-2\left({\frac {n-1}{a}}\right)\sigma ^{4}+\sigma ^{4}&&\operatorname {E} \left[S_{n-1}^{4}\right]=\operatorname {MSE} (S_{n-1}^{2})+\sigma ^{4}\\&={\frac {n-1}{na^{2}}}\left((n-1)\gamma _{2}+n^{2}+n\right)\sigma ^{4}-2\left({\frac {n-1}{a}}\right)\sigma ^{4}+\sigma ^{4}\end{aligned}}}

This is minimized when

a=\frac{(n-1)\gamma_2+n^2+n}{n} = n+1+\frac{n-1}{n}\gamma_2.

For a Gaussian distribution, where \gamma_2=0, this means that the MSE is minimized when dividing the sum by a=n+1. The minimum excess kurtosis is \gamma_2=-2,[a] which is achieved by a Bernoulli distribution with p = 1/2 (a coin flip), and the MSE is minimized for {\displaystyle a=n-1+{\tfrac {2}{n}}.} Hence regardless of the kurtosis, we get a «better» estimate (in the sense of having a lower MSE) by scaling down the unbiased estimator a little bit; this is a simple example of a shrinkage estimator: one «shrinks» the estimator towards zero (scales down the unbiased estimator).

Further, while the corrected sample variance is the best unbiased estimator (minimum mean squared error among unbiased estimators) of variance for Gaussian distributions, if the distribution is not Gaussian, then even among unbiased estimators, the best unbiased estimator of the variance may not be S^2_{n-1}.

Gaussian distribution[edit]

The following table gives several estimators of the true parameters of the population, μ and σ2, for the Gaussian case.[9]

True value Estimator Mean squared error
{\displaystyle \theta =\mu } \hat{\theta} = the unbiased estimator of the population mean, \overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i) \operatorname{MSE}(\overline{X})=\operatorname{E}((\overline{X}-\mu)^2)=\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)^2
{\displaystyle \theta =\sigma ^{2}} \hat{\theta} = the unbiased estimator of the population variance, S^2_{n-1} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n\left(X_i-\overline{X}\,\right)^2 \operatorname{MSE}(S^2_{n-1})=\operatorname{E}((S^2_{n-1}-\sigma^2)^2)=\frac{2}{n - 1}\sigma^4
{\displaystyle \theta =\sigma ^{2}} \hat{\theta} = the biased estimator of the population variance, S^2_{n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\left(X_i-\overline{X}\,\right)^2 \operatorname{MSE}(S^2_{n})=\operatorname{E}((S^2_{n}-\sigma^2)^2)=\frac{2n - 1}{n^2}\sigma^4
{\displaystyle \theta =\sigma ^{2}} \hat{\theta} = the biased estimator of the population variance, S^2_{n+1} = \frac{1}{n+1}\sum_{i=1}^n\left(X_i-\overline{X}\,\right)^2 \operatorname{MSE}(S^2_{n+1})=\operatorname{E}((S^2_{n+1}-\sigma^2)^2)=\frac{2}{n + 1}\sigma^4

Interpretation[edit]

An MSE of zero, meaning that the estimator \hat{\theta} predicts observations of the parameter \theta with perfect accuracy, is ideal (but typically not possible).

Values of MSE may be used for comparative purposes. Two or more statistical models may be compared using their MSEs—as a measure of how well they explain a given set of observations: An unbiased estimator (estimated from a statistical model) with the smallest variance among all unbiased estimators is the best unbiased estimator or MVUE (Minimum-Variance Unbiased Estimator).

Both analysis of variance and linear regression techniques estimate the MSE as part of the analysis and use the estimated MSE to determine the statistical significance of the factors or predictors under study. The goal of experimental design is to construct experiments in such a way that when the observations are analyzed, the MSE is close to zero relative to the magnitude of at least one of the estimated treatment effects.

In one-way analysis of variance, MSE can be calculated by the division of the sum of squared errors and the degree of freedom. Also, the f-value is the ratio of the mean squared treatment and the MSE.

MSE is also used in several stepwise regression techniques as part of the determination as to how many predictors from a candidate set to include in a model for a given set of observations.

Applications[edit]

  • Minimizing MSE is a key criterion in selecting estimators: see minimum mean-square error. Among unbiased estimators, minimizing the MSE is equivalent to minimizing the variance, and the estimator that does this is the minimum variance unbiased estimator. However, a biased estimator may have lower MSE; see estimator bias.
  • In statistical modelling the MSE can represent the difference between the actual observations and the observation values predicted by the model. In this context, it is used to determine the extent to which the model fits the data as well as whether removing some explanatory variables is possible without significantly harming the model’s predictive ability.
  • In forecasting and prediction, the Brier score is a measure of forecast skill based on MSE.

Loss function[edit]

Squared error loss is one of the most widely used loss functions in statistics, though its widespread use stems more from mathematical convenience than considerations of actual loss in applications. Carl Friedrich Gauss, who introduced the use of mean squared error, was aware of its arbitrariness and was in agreement with objections to it on these grounds.[3] The mathematical benefits of mean squared error are particularly evident in its use at analyzing the performance of linear regression, as it allows one to partition the variation in a dataset into variation explained by the model and variation explained by randomness.

Criticism[edit]

The use of mean squared error without question has been criticized by the decision theorist James Berger. Mean squared error is the negative of the expected value of one specific utility function, the quadratic utility function, which may not be the appropriate utility function to use under a given set of circumstances. There are, however, some scenarios where mean squared error can serve as a good approximation to a loss function occurring naturally in an application.[10]

Like variance, mean squared error has the disadvantage of heavily weighting outliers.[11] This is a result of the squaring of each term, which effectively weights large errors more heavily than small ones. This property, undesirable in many applications, has led researchers to use alternatives such as the mean absolute error, or those based on the median.

See also[edit]

  • Bias–variance tradeoff
  • Hodges’ estimator
  • James–Stein estimator
  • Mean percentage error
  • Mean square quantization error
  • Mean square weighted deviation
  • Mean squared displacement
  • Mean squared prediction error
  • Minimum mean square error
  • Minimum mean squared error estimator
  • Overfitting
  • Peak signal-to-noise ratio

Notes[edit]

  1. ^ This can be proved by Jensen’s inequality as follows. The fourth central moment is an upper bound for the square of variance, so that the least value for their ratio is one, therefore, the least value for the excess kurtosis is −2, achieved, for instance, by a Bernoulli with p=1/2.

References[edit]

  1. ^ a b «Mean Squared Error (MSE)». www.probabilitycourse.com. Retrieved 2020-09-12.
  2. ^ Bickel, Peter J.; Doksum, Kjell A. (2015). Mathematical Statistics: Basic Ideas and Selected Topics. Vol. I (Second ed.). p. 20. If we use quadratic loss, our risk function is called the mean squared error (MSE) …
  3. ^ a b Lehmann, E. L.; Casella, George (1998). Theory of Point Estimation (2nd ed.). New York: Springer. ISBN 978-0-387-98502-2. MR 1639875.
  4. ^ Gareth, James; Witten, Daniela; Hastie, Trevor; Tibshirani, Rob (2021). An Introduction to Statistical Learning: with Applications in R. Springer. ISBN 978-1071614174.
  5. ^ Wackerly, Dennis; Mendenhall, William; Scheaffer, Richard L. (2008). Mathematical Statistics with Applications (7 ed.). Belmont, CA, USA: Thomson Higher Education. ISBN 978-0-495-38508-0.
  6. ^ A modern introduction to probability and statistics : understanding why and how. Dekking, Michel, 1946-. London: Springer. 2005. ISBN 978-1-85233-896-1. OCLC 262680588.{{cite book}}: CS1 maint: others (link)
  7. ^ Steel, R.G.D, and Torrie, J. H., Principles and Procedures of Statistics with Special Reference to the Biological Sciences., McGraw Hill, 1960, page 288.
  8. ^ Mood, A.; Graybill, F.; Boes, D. (1974). Introduction to the Theory of Statistics (3rd ed.). McGraw-Hill. p. 229.
  9. ^ DeGroot, Morris H. (1980). Probability and Statistics (2nd ed.). Addison-Wesley.
  10. ^ Berger, James O. (1985). «2.4.2 Certain Standard Loss Functions». Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. p. 60. ISBN 978-0-387-96098-2. MR 0804611.
  11. ^ Bermejo, Sergio; Cabestany, Joan (2001). «Oriented principal component analysis for large margin classifiers». Neural Networks. 14 (10): 1447–1461. doi:10.1016/S0893-6080(01)00106-X. PMID 11771723.

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Ошибка сработали лимиты на операции в пользу зарубежных провайдеров киви
  • Ошибка средней арифметической выборки n 30 вычисляется по формуле
  • Ошибка среднего значения в эксель
  • Ошибка ср на котле будерус u072 устранение
  • Ошибка спуска затвора на фотоаппарате nikon